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Beispiel: Einbeziehung nichtmetrischer GrößenLovelock-Tensoren
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Einige Variationsergebnisse

Der Einstein-Tensor

(1)

ergibt sich aus der Variation der invarianten Wirkung

(2)

nach der Feldvariablen , indem alle auftretenden Variationen durch ausgedrückt werden:

(3)

Im Variationsergebnis (3) für die Wirkung können keine Ableitungen dritter und vierter Ordnung des metrischen Tensors auftauchen, weil der Krümmungsskalar die Ableitungen zweiter Ordnung linear enthält.
Der quadratische Lovelock-Tensor

(4)

ergibt sich aus der Variation der invarianten Wirkung

(5)

nach der Feldvariablen , indem alle auftretenden Variationen durch ausgedrückt werden:

(6)

Anders als die Wirkung (2) enthält die Wirkung (5) die zweiten Ableitungen nicht linear, aber bei der Ausführung der Variation stellt sich hier heraus, dass sich alle Ableitungen dritter und vierter Ordnung des metrischen Tensors gegenseitig wegheben, so dass im Variationsergebnis keine Ableitungen höherer, als der zweiten Ordnung mehr auftauchen.
Da aber für der quadratische Lovelock-Tensor ist, ist dieses Variationsergebnis für unbedeutend.
Die im folgenden vorgestellte Wirkung

(7)

besteht neben dem Krümmungstensor aus dem elektromagnetischen Feldstärketensor , der aus dem elektromagnetischen Vektorpotential nach der Vorschrift

(8)

gebildet wird. Als Variationsergebnis ergibt sich durch die Variation nach den Feldvariablen und , indem alle auftretenden Variationen durch und ausgedrückt werden:

(9)

Hier tauchen keine Ableitungen des Krümmungstensors , und keine zweiten Ableitungen des elektromagnetischen Feldstärketensors auf, weil sie sich gegenseitig wegheben.
Dieses Variationsergebnis lässt sich mithilfe der für gültigen Identität

(10)

vereinfachen zu:

(11)


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