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Relativistische Vielweltentheorie

1 Einleitung

Für die hier vorgestellten relativistischen Feldgleichungen besteht der gesamte Dimensionsbereich für eine beliebige Dimensionsanzahl , aus Dimensionsbereichen, die unabhängig voneinander und orthogonal zueinander existierende abgeschlossene Systeme darstellen. Diese abgeschlossenen Systeme werden hier Dimensionszellen genannt, die dadurch charakterisiert sind, dass die jeweils in einer Dimensionszelle wirkenden Felder, keine Wirkung auf Dimensionsbereiche außerhalb von dieser Dimensionszelle haben können. Zwischen verschiedenen Dimensionszellen besteht also keinerlei Wechselwirkung und der Wirkungsbereich der Felder in einer Dimensionszelle ist nur auf diese Dimensionszelle selbst beschränkt. Um dies zu erreichen werden hier divergenzfreie Tensoren eingeführt, die sich jeweils aus einer Variation herleiten lassen, so dass sich damit Feldgleichungen konstruieren lassen, die divergenzfrei sind, und somit Erhaltungsgrößen darstellen.
[Wir benutzen hier die Einsteinsche Summenkonvention, bei der über zwei gleiche Indizes summiert wird, von denen der eine als kovarianter Index unten und der andere als kontravarianter Index oben steht. Ist eine Koordinate, dann bezeichnet die einfache Ableitung, und die kovariante Ableitung nach dieser Koordinate. Für schreiben wir .]

2 Divergenzfreie Tensoren

Die hier vorgestellten zweistufigen symmetrischen Tensoren sind divergenzfrei, dass heißt für einen solchen zweistufigen symmetrischen Tensor ist : Mit diesen Tensoren lässt sich eine Wirkung mit irgendwelchen Konstanten schreiben als:
(11)
Aus dem Variationsprinzip erhalten wir daraus eine relativistische Feldgleichung der Gravitation:
(12)

3 Vielweltenformel

Die in der Feldgleichung (12) enthaltenen Konstanten sollen nun so eingeschränkt sein, dass mehrere Dimensionsbereiche möglich sind, die unabhängig voneinander und orthogonal zueinander existierende abgeschlossene Systeme darstellen, in denen der jeweils zu diesen Dimensionsbereichen zugeordnete metrische Tensor nur von den Koordinaten und Indizes seines eigenen Dimensionsbereichs abhängt. Diese Dimensionsbereiche wollen wir Dimensionszellen nennen. Dazu zerlegen wir den metrischen Tensor in zwei Teilbereiche und , die jeweils nur von den Koordinaten und Indizes des eigenen Dimensionsbereichs abhängen, so dass wir den metrischen Tensor schreiben können als:
(13)
In der Feldgleichung (12) sind dann nur diejenigen Konstanten erlaubt, für dass unter dieser Bedingung diese Feldgleichung konsistent wird, und dies ist der Fall wenn die Konstanten die Werte
(14)
annehmen, wobei eine Konstante ist. Setzen wir für die Konstanten die Werte (14) ein, dann erhalten wir aus der ursprünglichen Feldgleichung eine vielweltentaugliche Feldgleichung:
(15)
Diese Gleichung erlaubt die Existenz von einer beliebigen Anzahl orthogonal existierender Dimensionszellen, die sich ja über die Gravitation nicht gegenseitig beeinflussen können.
Gehören die einfach gestrichenen Größen zum Dimensionsbereich zu der auch gehört, und die doppelt gestrichenen Größen zum Dimensionsbereich zu der auch gehört, dann brauchen wir die Feldgleichungen nur in einem der beiden Dimensionsbereiche zu betrachten, da beide Dimensionsbereiche äquivalent sind. Betrachten wir dazu den einfach gestrichenen Dimensionsbereich, dann folgt durch die Vielweltenzerlegung des metrischen Tensors unter der Bedingung (13) aus der Feldgleichung (15):
(16)
Der Skalar mit den doppelt gestrichenen Größen lässt sich abseparieren, so dass wir hier für den einfach gestrichenen Dimensionsbereich eine Feldgleichung erhalten, der die selbe Gestalt hat, wie die ursprüngliche Feldgleichung (15).
Die Eigenschaften dieser Gleichung erinnert an eine Exponentialfunktion, die sich ja durch die Reihe
(17)
darstellen lässt.
Betrachten wir nun die Wirkung , mit
(18),
dessen Variation zu der vielweltentauglichen Feldgleichung führt, dann stellen wir fest, dass die in der Wirkung stehende invariante Lagrange-Dichte die selbe Gestalt hat, wie der Skalar, der sich durch die Vielweltenzerlegung dieser vielweltentauglichen Feldgleichung abseparieren lässt. Dieser Skalar hat den Charakter einer Exponentialfunktion, so dass er sich durch die Vielweltenzerlegung zu einem Produkt aus Skalaren der selben Gestalt zerlegen lässt, von denen jeder Skalar jeweils dem Dimensionsbereich einer Dimensionszelle zugeordnet ist. Da sich auch das invariante Volumenelement durch die Vielweltenzerlegung zu einem Produkt aus invarianten Volumenelementen der selben Gestalt zerlegen lässt, von denen jedes Volumenelement jeweils dem Dimensionsbereich einer Dimensionszelle zugeordnet ist, lässt sich somit auch für jede einzelne Dimensionszelle eine Wirkung zuordnen, die dann nur Größen enthält, die dem Dimensionsbereich dieser Dimenionszelle zugeordnet sind, und durch dessen Variation nach den für diese Dimensionszellen zugeordneten metrischen Tensoren , die für diese Dimensionszellen zugeordneten Feldgleichungen ergeben.


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